então,\[x'_{i}=\sum_{j}R_{ij}x_{j}.\]Na notação matricial, temos\[\label{vec}\mathbf{x}\rightarrow \mathbf{x}'=R\mathbf{x}.\]Usamos (\ref{vec}) para definir vetores euclidinos. Neste caso, são aqueles cujas componentes se transformam como o sistema de coordenadas. Portanto, dizemos que um vetor euclidiano é um vetor covariante.
É fácil ver que um vetor covariante tem sua norma invariante por rotações. Basta fazer uso do produto escalar:\[\mathbf{x}'\cdot \mathbf{y}'=\left(\mathbf{x}'\right)^T \mathbf{y}'= \left(R\mathbf{x}\right)^T R\mathbf{y} = \mathbf{x}^TR^T R\mathbf{y}=\mathbf{x}^T\mathbf{y}=\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}.\]Portanto, o produto escalar é invariante por rotações. Em razão desta invariância, a norma de um vetor e o ângulo entre dois vetores são, também, invariantes euclidianos.
Funções vetoriais (campos vetoriais)
Uma função vetorial, ou um campo vetorial euclidiano, é um vetor euclidiano cujas componentes são funções de \(\mathbb{R}^3\). Neste caso, temos \(\mathbf{u}=\mathbf{u}(x_1,x_2,x_3)\), ou seja,\[\mathbf{u}=u_1\left(x_1,x_2,x_3\right)\mathbf{e}_1+u_2\left(x_1,x_2,x_3\right)\mathbf{e}_2+u_3\left(x_1,x_2,x_3\right)\mathbf{e}_3,\]que também tem notação vetorial dada por\[\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}
u_1\left(x_1,x_2,x_3\right)\\
u_2\left(x_1,x_2,x_3\right)\\
u_3\left(x_1,x_2,x_3\right)
\end{array}\right).\]Cada componente é uma função de três variáveis, mas tais componentes continuam se transformando, por rotações, de forma covariante \(\mathbf{u}'=R\mathbf{u}\).
Diferenciação de campos vetoriais
A diferencial de um campo vetorial é definida pela expressão\[d\mathbf{u}=du_1\mathbf{e}_1+du_2\mathbf{e}_2+du_3\mathbf{e}_3=\sum_idu_i\mathbf{e}_i,\]ou seja, é um vetor cujas componentes são as diferenciais das componentes do vetor \(\mathbf u\). Assim, também podemos escrever\[d\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}
du_1\\
du_2\\
du_3
\end{array}\right).\]O símbolo \(d\), que denota a diferencial total, é um operador derivativo, ou derivada. De forma geral, uma derivada tem as seguintes propriedades (considere \(a,b\in \mathbb{R}\) e \(f,g,h\in \Phi\))
- Linearidade: \(d\left(af+bg\right)=adf+bdg\);
- Regra de Leibniz: \(d\left(f\cdot g\right)=df\cdot g+f\cdot dg\);
- Regra da composição: se \(f=g\left(h\right)\), \(df=\frac{dg}{dh}dh\).
A diferencial das componentes do vetor \(\mathbf u\) é definida pela expressão\[du_i = \frac{\partial u_i}{\partial x_1}dx_1 + \frac{\partial u_i}{\partial x_2}dx_2+\frac{\partial u_i}{\partial x_3}dx_3=\sum_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}dx_j.\]Nesta expressão, \(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\) denota a derivada parcial da componente \(u_i\) com relação à coordenada \(x_j\).
Outra importante derivada é o gradiente de uma função escalar:\[\nabla f\equiv \frac{\partial f}{\partial x_1}\mathbf{e}_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2}\mathbf{e}_2 + \frac{\partial f}{\partial x_3}\mathbf{e}_3 = \sum_j\frac{\partial f}{\partial x_j}\mathbf{e}_j.\]Vemos, assim, que as componentes da diferencial total são também as componentes do gradiente de cada \(u_i\).
A terceira derivada de importância em nosso curso é a divergência:\[\nabla\cdot \mathbf{u} \equiv \frac{\partial u_1}{\partial x_1} + \frac{\partial u_2}{\partial x_2} + \frac{\partial u_3}{\partial x_3} = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial x_j}.\]Trataremos do rotacional na ocasião em que introduzirmos o produto vetorial.
Assim como o operador \(d\), o operador \(\nabla\) também é uma derivada. Contudo, o operador gradiente tem componentes que consistem nas derivadas parciais. Exceto pelo fato de que essas componentes são derivadas, e não funções, o gradiente pode ser visto como um vetor:\[\nabla\equiv \mathbf{e}_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\mathbf{e}_2\frac{\partial}{\partial x_2}+\mathbf{e}_3\frac{\partial}{\partial x_3} = \sum_i \mathbf{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}.\]Na notação matricial, temos\[\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x_1} \ \frac{\partial}{\partial x_2} \ \frac{\partial}{\partial x_3}\right),\]organizado como um vetor linha.