\[x=x_{0}\pm v_{0}\Delta t+\frac{1}{2}a\left(\Delta t\right)^{2}.\] Note que o sinal \(\pm\) cobre os casos de velocidade inicial no sentido positivo ou negativo do eixo \(\mathbf{e}_1\). Supostamente, poderíamos ter evitado trabalho ao simplesmente resolver a equação (eq:02) para o potencial \(-\alpha x\). Mas isto certamente seria muito menos interessante para um curso avançado de mecânica. Além disso, a quadratura explicita a importância dos invariantes dinâmicos e suas relações com as curvas percorridas pelas partículas de forma mais fundamental. Esta consciência torna-se vital em sistemas mais complexos, como veremos.

O oscilador harmônico simples