\[\frac{d\mathbf{p}}{dt}=0\,\,\,\implies\,\,\,\frac{d}{dt}\left(m_{1}\mathbf{v}_{1}+m_{2}\mathbf{v}_{2}\right)=0,\]ou seja,\[m_{1}\mathbf{a}_{1}+m_{2}\mathbf{a}_{2}=0.\]Voltando ao sistema de n partículas, as expressões anteriores resultam em\[\begin{equation}\mathbf{p}=\sum_{I}\mathbf{p}_{I},\,\,\,\,\,\mathbf{p}_{I}=m_{I}\mathbf{v}_{I},\label{eq:1.5.2}\end{equation}\]bem como\[\begin{equation}\frac{d\mathbf{p}}{dt}=0\,\,\,\implies\,\,\,\sum_{I}m_{I}\mathbf{a}_{I}=0.\label{eq:1.5.3}\end{equation}\]
Força
Da equação (\ref{eq:1.5.3}), vemos que a conservação do momento implica em que a soma da massa vezes a aceleração de cada partícula deve ser nula. Podemos definir
Força: A força que age sobre uma partícula \(I\) de momento linear \(\mathbf{p}_{I}\) e massa \(m_{I}\) constante é definida pela expressão\[\begin{equation}\mathbf{F}_{I}=\frac{d\mathbf{p}_{I}}{dt}=m_{I}\mathbf{a}_{I}.\label{eq:1.6.1}\end{equation}\]
Note que \(\mathbf{F}\) é também um vetor por rotações. Dessa forma, a conservação do momento implica em\(\begin{equation}\sum_{I}\mathbf{F}_{I}=0\label{eq:1.6.2}\end{equation}\)para um sistema de partículas isolado. A definição (\ref{eq:1.6.2}) é equivalente à segunda lei de Newton.
Voltando ao sistema de duas partículas, (\ref{eq:1.6.1}) resulta em\[\begin{equation}\mathbf{F}_{1}=-\mathbf{F}_{2},\label{eq:1.6.3}\end{equation}\]ou seja, a força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 é igual ao negativo da força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2. Esta é a expressão matemática da terceira lei de Newton na forma forte.
Novamente, a Energia
Vamos tomar o caso de uma partícula de massa \(m\) sobre a qual age uma força \(\mathbf{F}\). Neste caso, a dinâmica é dada pela \[\begin{equation}\mathbf{F}=m\mathbf{a}=m\dot{\mathbf{v}}=m\ddot{\mathbf{x}},\label{eq:1.6.4}\end{equation}\]ou seja, conhecida a força \(\mathbf{F}=\mathbf{F}\left(t,\mathbf{x},\mathbf{\dot{x}}\right)\), (\ref{eq:1.6.1}) torna-se um sistema de três equações diferenciais ordinárias para o vetor posição.
Vamos tomar o produto escalar de (\ref{eq:1.6.1}) por \(\mathbf{v}\), que resulta em\[\mathbf{F}\cdot \mathbf{v} = m\ddot{\mathbf{x}}\cdot \mathbf{v} = m\ddot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}}.\]Note que\[\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\,\dot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}}\right)=\frac{1}{2}m\frac{d}{dt}\left(\dot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}}\right) =m\ddot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}},\]portanto,\[\begin{equation}\mathbf{F} \cdot \dot{\mathbf{x}} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\,\dot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}m\,\dot{\mathbf{x}}^{2}\right).\label{eq:1.6.6}\end{equation}\]Aqui, reconhecemos a quantidade \(K=\frac{1}{2}m\,\dot{\mathbf{x}}^{2}\) como a energia cinética.
Da equação (\ref{eq:1.6.1}) vemos que, se a força é ortogonal à velocidade, a energia cinética se conserva. Ou seja,\[\begin{equation}\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=0\,\,\,\,\implies\,\,\,\,\frac{dK}{dt}=0.\label{eq:1.6.9}\end{equation}\]Este caso inclui o da partícula livre, em que \(\mathbf{F}=0\).
Vamos supor que a força \(\mathbf{F}\) seja derivada de um potencial \(V\), como no caso dos sistemas unidimensionais que estudamos anteriormente. Ou seja,\[\begin{equation}\mathbf{F}=-\nabla V,\label{eq:1.6.10}\end{equation}\]em que \(\nabla\) é o operador gradiente:\[\begin{equation}\nabla V\rightarrow\left(\frac{\partial V}{\partial x^{1}},\frac{\partial V}{\partial x^{2}},\frac{\partial V}{\partial x^{3}}\right).\label{eq:1.6.11}\end{equation}\]Então, (\ref{eq:1.6.11}) resulta em\[\begin{equation}\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}mv^2\right)=\mathbf{F}\cdot \dot{\mathbf{x}}=-\dot{\mathbf{x}}\cdot \nabla V=-\frac{dV}{dt}+\frac{\partial V}{\partial t}.\label{eq:1.6.12}\end{equation}\]Neste caso, como \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}=dK/dt\),\[\begin{equation}\frac{d}{dt}\left(K+V\right)=\frac{\partial V}{\partial t}.\label{eq:1.6.13}\end{equation}\]Portanto, se a força é derivada de um potencial e independente do tempo, temos uma constante de movimento,\[\begin{equation}E=K+V, \ \ \ \frac{dE}{dt}=0,\label{eq:1.6.14}\end{equation}\]que é a energia mecânica da partícula.
Trabalho
A energia de uma partícula em interação pode mudar com o tempo quando a interação é modelada com um potencial dependente do tempo, mas existem casos em que, sequer, uma energia potencial pode ser definida. É o caso, por exemplo, dos sistemas dissipativos, em que a energia cinética se perde através de outras formas de energia. O atrito, por exemplo, é um tipo de interação dissipativa, em que a energia do corpo é dissipada através do calor, de ondas sonoras ou, até, através de ondas eletromagnéticas. As interacões mecânicas no nosso ambiente são, com raríssimas exceções, dissipativas. Contudo, muitos sistemas desse tipo podem ser tratados com potenciais especiais, assumindo-se o conhecimento de um segundo sistema, de modo que o sistema físico de interesse e este sistema interagente formam um único sistema isolado.
Os sistemas verdadeiramente conservativos, surpreendentemente, tornam-se maioria quando tratamos de sistemas moleculares, atômicos e sub-atômicos, ou quando tratamos de interações em larga escala no Universo.
Ainda assim, há um conceito que descreve o quanto determinado sistema troca energia com o ambiente, quando sua energia cinética não é conservada. É o conceito de
trabalho.
Vamos supor uma única partícula de massa \(m\) que desenvolve uma curva \(C_1\) em \(\mathbb{R}^3\), como na primeira figura (\ref{544051}).