Como (\ref{01}) é uma equação diferencial linear (EDO) de segunda ordem, admite duas soluções de base e a superposição de soluções como solução geral. A variável independente é \(t\), mas a solução depende também de mais três parâmetros \(a\)\(b\)\(t_0\). O parâmetro \(t_0\) é livre, pois é fixado pelo instante em que o observador liga seu relógio. Contudo, os demais parâmetros definem soluções particulares para o oscilador. Cada cojunto de valores \(\left(a,b\right)\) distinto determina uma curva diferente para o oscilador. Dizemos, assim, que um conjunto específico \(\left(a,b\right)\) define um estado físico acessível do sistema.
Pela teoria das EDOs lineares, vemos que a fixação dos parâmetros \(\left(a,b\right)\) pode ser efetuada com a determinação de duas condições iniciais. Por exemplo, vamos supor que o oscilador seja um sistema massa-mola e que a posição inicial do oscilador seja determinada pelo experimentador estendendo-se a mola para uma amplitude \(A\). Ele liga o cronômetro em \(t=t_0\) enquanto libera a massa para se mover livremente. Neste caso, a posição inicial é dada por \(x(t_0)=A\), o que resulta na condição\[a+b=A.\]Por outro lado, temos\[\dot{x}=i\omega ae^{i\omega \left(t-t_0\right)}-i\omega be^{-i\omega \left(t-t_0\right)},\]que é a velocidade geral da partícula. Ao mesmo tempo em que o sistema inicia o movimento, sua velocidade é nula. Assim, a velocidade inicial promove a condição \[\dot{x}_0=\dot{x}\left(t=t_0\right)=0,\]o que implica em\[a-b=0.\]Portanto, \(b=a=A/2\) e, assim, a solução passa a ser\[x=\frac{1}{2} A \left[ e^{i\omega \left(t-t_0\right)} + e^{-i\omega \left(t-t_0\right)}\right] = A\cos \left[\omega \left(t-t_0\right)\right].\]Assim, o estado do sistema é determinado pelo conjunto \(\left(a,b\right)=\left(A/2,A/2\right)\), sendo definido por uma única constante \(A\), a amplitude do movimento. Portanto, para cada valor da amplitude, temos definida uma solução distinta para o oscilador harmônico simples. Neste caso, o estado do oscilador é definido apenas pelo valor da amplitude.
Devemos nos lembrar, contudo, que a amplitude tem relação direta com a energia mecânica do sistema,\[A=\sqrt{\frac{2E}{m\omega^2}},\]portanto, o estado físico do oscilador é determinado pela energia \(E\). Isto pode ser visto também na solução encontrada em \cite{Bertin_2020}.
Como a equação de movimento é de segunda ordem, são sempre necessárias duas condições para definir uma solução única, ou seja, um estado físico do sistema. Vamos voltar à solução\[x=ae^{i\omega \left(t-t_0\right)}+be^{-i\omega \left(t-t_0\right)}\]do OHS como exemplo. Em vez de definir uma condição inicial, vamos supor que conhecemos o valor da posição em um instante de tempo \[t':t=t'+t_0.\]Neste caso,\[x'\equiv x(t'+t_0)=ae^{i\omega t'}+be^{-i\omega t'},\]e\[\dot{x}'\equiv \dot{x}(t'+t_0)=i\omega a e^{i\omega t'}-i\omega be^{-i\omega t'},\]o que resulta em\[a=\frac{1}{2}\left(x'-\frac{i}{\omega}\dot{x}'\right)e^{-i\omega t'},\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace\thinspace b=\frac{1}{2}\left(x'+\frac{i}{\omega}\dot{x}'\right)e^{i\omega t'}.\]
Esta é a forma geral dos coeficientes que determinam o estado físico do OHS, dependendo das condições iniciais \(x=x'\)\(\dot{x}=\dot{x}'\). Esta análise nos permite definir as funções\[a\left(t\right)\equiv \frac{1}{2}\left(x-\frac{i}{\omega}\dot{x}\right)e^{-i\omega \left(t-t_0\right)},\]e\[a^*\left(t\right) \equiv b\left(t\right)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{i}{\omega}\dot{x}\right)e^{i\omega \left(t-t_0\right)},\]que aparecem muito no problema quântico relacionado ao oscilador harmônico simples. Em mecânica quântica, essas funções são denominadas operadores de criação e destruição. Note que a denominação \(a^*\) indica conjugação complexa, em que a base imaginária \(i\) é trocada por \(-i\) a partir da expressão de \(a\).
Ainda sobre as funções \(a\)\(a^*\), podemos mostrar que são, na verdade, constantes de movimento. Basta calcular\[\frac{da}{dt}=-\frac{1}{2}\frac{i}{\omega}\left(\ddot{x}+\omega^{2}x\right)e^{-i\omega\left(t-t_{0}\right)}=0,\]e\[\frac{da^*}{dt}=\frac{1}{2}\frac{i}{\omega}\left(\ddot{x}+\omega^{2}x\right)e^{i\omega\left(t-t_{0}\right)}=0,\]em que usamos as equações de movimento (\ref{01}). Portanto, no caso de condições iniciais mais gerais, o estado físico do OHS é definido pelo par de constantes de movimento \(\left(a,a^*\right)\), que desta vez são números complexos.
Assim, como no caso mais restrito em que a condição inicial é \(x_0=A\), no caso mais geral temos uma relação entre as funções \(\left(a,a^*\right)\) e a energia mecânica. Note que \[a^{*}a=\frac{1}{4\omega^{2}}\left(\omega^{2}x^{2}+\dot{x}^{2}\right)=\frac{E}{2m\omega^{2}},\]ou seja,\[E=2m\omega^{2}a^{*}a.\]É fácil mostrar que, no caso particular em que \(x_0=A\)\(\dot{x}_0=0\)\(a=a^*=A/2\)\(a^*a=A/4\).
Assim, novamente, apenas a energia é necessária para determinar o estado de movimento, visto que o oscilador em si determina as relações entre as condições iniciais e as constantes de movimento do sistema. Esta é uma relação que acompanhará a resolução de todos os problemas mecânicos integráveis, ou seja, que possuem soluções analíticas. Assim, os estados físicos de um sistema deverão ser definidos por um conjunto de observáveis que são constantes de movimento do sistema. Veremos melhor como isso é concretizado.
Como já destacamos, historicamente, o conceito de estado físico na mecânica clássica não é definido a partir dos observáveis invariantes. Para o conceito tradicionalmente aceito, inclusive em livros texto atuais, atribuímos um estado físico para cada valor de posição e momento. Assim, cada ponto da trajetória do oscilador, para o qual uma dupla \(\left(x,\dot{x}\right)\) é estabelecida, é um estado físico na concepção clássica. Sob este ponto de vista, cada ponto da trajetória é um estado físico. Sob o ponto de vista que abordamos aqui, cada valor de \(E\) define um estado físico. Este último ponto de vista é na mecânica quântica e na teoria quântica de campos, portanto, possui uma conexão mais profunda com a física moderna.

Os estados físicos do oscilador isotrópico