No caso do oscilador isotrópico tridimensional, a definição de estados físicos envolve também seus invariantes fundamentais: A energia e o momento angular. Lembremos que, em coordenadas esférico-polares, a energia do oscilado isotrópico é dada por\[E=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{\ell^{2}}{2mr^{2}}+\frac{1}{2}m\omega^{2}r^{2},\label{energia} \]em que \(\ell^2\) é o momento angular ao quadrado do sistema,\[\ell^{2}=m^{2}r^{4}\left(\dot{\theta}^{2}+\dot{\phi}^{2}\sin^{2}\theta\right).\]Vimos que, se o sistema de coordenadas for escolhido de modo que o eixo \(\mathbf{e}_3\) coincida com a direção do momento angular \(\mathbf{L}\), ou seja, se \[\mathbf{L}=L_3\mathbf{e}_3=mr^{2}\dot{\phi}\sin^{2}\theta\mathbf{e}_{3},\]temos que \[\dot{\theta}=0 \ \ \ \mathrm{e} \ \ \ \theta=\frac{\pi}{2},\]portanto,\[\ell=mr^{2}\dot{\phi}.\]Ambos os valores \(E\)\(\ell\) são invariantes dinâmicos, contudo, a energia possui espectro no intervalo \(E\in\left[\omega\ell,\infty\right)\), enquanto \(\ell\in\left(-\infty,\infty\right)\). Contudo, na equação (\ref{energia}) vemos que cada valor de energia depende de \(\ell^2\in\left[0,\infty\right)\), portanto, um valor específico de energia pode ter infinitas soluções de momentos angulares distintos. Apenas com a definição de ambos os invariantes uma solução única pode ser definida. Neste caso, os observáveis que definem os estados físicos do sistema são a energia mecânica e o módulo do momento angular.
Relacionar estes invariantes aos dados iniciais do oscilador não é tão simples como no caso unidimensional. Contudo, os estados definidos por \(E\)\(\ell\) também são relacionados a condições iniciais do problema e, no caso mais geral, a funções análogas às funções de criação e destruição \(a\)\(a^*\). Contudo, este problema foge ao escopo deste curso.
No caso mais geral, em que o eixo \(\mathbf{e}_3\) não coincide com a direção do momento angular \(\mathbf{L}\), ou seja, \(L_1\neq0\)\(L_2\neq0\), esses dois observáveis não serão suficientes para definir completamente o estado do oscilador. Isto ocorre porque o movimento em \(\theta\) não é mais fixado. Neste caso, haverá mais um invariante dinâmico fundamental. Vamos voltar ao problema do oscilador isotrópico tridimensional no formalismo lagrangiano. Então, os três invariantes serão mais facilmente obtidos, assim como suas devidas interpretações.