Um dos conceitos que carregamos ainda hoje e que pode ser reformulado para ser análogo ao mesmo conceito em mecânica quântica, sem perder suas características ontológicas, é o conceito de estado físico. Na verdade, o conceito fundamental ainda é compartilhado por ambas as teorias.
Um estado físico de um sistema é determinado por um conjunto específico de características capaz de descrevê-lo completamente.
De forma mais precisa, um estado físico é um conjunto de medidas referentes a um conjunto de observáveis que possuem uma característica de completeza. A completeza de um conjunto de observáveis, por outro lado, é uma propriedade algébrica definida em teorias de grupos, assunto com o qual não nos preocuparemos aqui. Desde que um critério de completeza seja definido, o conjunto de observáveis que definem os estados físicos pode ser finito ou infinito. Existem sistemas clássicos cujo conjunto de observáveis definidores dos estados físicos é infinito. Contudo, os sistemas com os quais nos preocuparemos possuem sempre conjuntos finitos desses observáveis.
Tradicionalmente, o estado físico em mecânica clássica é definido por dois observáveis: a posição e a velocidade em determinado instante de tempo. Portanto, cada ponto da curva solução das equações de movimento de uma partícula, em conjunto com sua velocidade, determinam o estado da partícula. Assim, o conjunto\[E\left(t\right)\equiv \left\{x_1\left(t\right),x_2\left(t\right), x_3\left(t\right), \dot{x}_1\left(t\right),\dot{x}_2\left(t\right), \dot{x}_3\left(t\right)\right\}\]determina o estado de uma partícula com trajetória \(\gamma:\mathbf{x}=\mathbf{x}(t)\subset \mathbb{R}^3\) no instante de tempo \(t\). Veremos no formalismo Lagrangiano que a coleção de todos os estados definidos dessa forma forma um espaço vetorial, denominado espaço de estados.
Aqui, vamos definir observáveis clássicos de outra forma. Contudo, ambas as definições são plenamente compatíveis. A diferença estará na maior proximidade entre a contrução que empregaremos abaixo e aquela que é definida na mecânica quântica.
O conceito de estado físico a partir do oscilador harmônico
Considere o oscilador harmônico simples unidimensional. Ele é descrito como uma partícula no potencial \(V=m\omega^2x^2/2\). Assim, utilizando-se da relação \(\dot{p}=-dV/dx\), temos a equação de movimento\[\ddot{x}+\omega^2x=0,\label{01}\]que descreve o movimento do oscilador. Suas soluções determinam todas as possíveis curvas percorridas pela partícula em \(\mathbb{R}\), ou seja, todas as possíveis formas pelas quais a dinâmica do sistema se realiza. A forma mais geral para a função horária solução da equação (\ref{01}) é dada como uma combinação linear:\[x=ae^{i\omega \left(t-t_0\right)}+be^{-i\omega \left(t-t_0\right)},\]em que \[e^{\pm i\omega\left(t-t_0\right)}\]são soluções linearmente independentes de (\ref{01}), como vimos no vídeo abaixo: